関数 $y=(x-1)^2 + 2c + 1$ が $2 \le x \le 4$ の範囲で最大値12をとるときの、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y=(x-1)^2 + 2c + 1$ が $2 \le x \le 4$ の範囲で最大値12をとるときの、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y=(x-1)^2 + 2c + 1$ は、下に凸の放物線です。軸は $x=1$ です。定義域 $2 \le x \le 4$ における最大値は、軸から最も遠い $x=4$ のときにとります。

したがって、$x=4$ を代入したときに $y=12$ となるように $c$ の値を求めます。

$x=4$ を代入すると、

$y = (4-1)^2 + 2c + 1 = 3^2 + 2c + 1 = 9 + 2c + 1 = 10 + 2c$

これが最大値12に等しいので、

$10 + 2c = 12$

$2c = 12 - 10$

$2c = 2$

$c = 1$

3. 最終的な答え

$c = 1$