2次関数 $y = 2(x-2)^2 + 2c + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2(x-2)^2 + 2c + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数は $y = 2(x-2)^2 + 2c + 1$ である。この関数のグラフは、頂点が $(2, 2c+1)$ の下に凸な放物線である。

定義域は $-1 \le x \le 1$ である。軸 $x=2$ はこの定義域の外にあるため、定義域内で $x$ が小さいほど $y$ の値は大きくなる。したがって、最大値は $x=-1$ のときにとる。

$x=-1$ を与えられた関数に代入すると、

$y = 2(-1-2)^2 + 2c + 1 = 2(-3)^2 + 2c + 1 = 2(9) + 2c + 1 = 18 + 2c + 1 = 19 + 2c$

最大値が5であるから、

$19 + 2c = 5$

$2c = 5 - 19 = -14$

$c = -7$

3. 最終的な答え

$c = -7$