袋の中に赤玉が3個、黒玉が6個入っている。この袋から玉を1個取り出し、元に戻す操作を6回行う。k回目の試行において、赤玉が出たら確率変数 $X_k = 1$、黒玉が出たら $X_k = 0$とする。確率変数 $X_k$ の期待値と分散を求め、それを利用して、赤玉の出る回数 $X$ の期待値と分散を求める。ただし、$k=1,2,\dots,6$とする。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、黒玉が6個入っている。この袋から玉を1個取り出し、元に戻す操作を6回行う。k回目の試行において、赤玉が出たら確率変数 $X_k = 1$、黒玉が出たら $X_k = 0$とする。確率変数 $X_k$ の期待値と分散を求め、それを利用して、赤玉の出る回数 $X$ の期待値と分散を求める。ただし、$k=1,2,\dots,6$とする。

2. 解き方の手順

まず、$X_k$ の期待値と分散を求める。

$X_k$ はベルヌーイ分布に従う確率変数である。

赤玉が出る確率は $p = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ である。

黒玉が出る確率は $1-p = \frac{2}{3}$ である。

$X_k$ の期待値 $E(X_k)$ は、

$E(X_k) = 1 \times P(X_k = 1) + 0 \times P(X_k = 0) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$X_k$ の分散 $V(X_k)$ は、

$V(X_k) = E(X_k^2) - (E(X_k))^2$

$E(X_k^2) = 1^2 \times P(X_k = 1) + 0^2 \times P(X_k = 0) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$V(X_k) = \frac{1}{3} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

次に、$X$ の期待値と分散を求める。

$X = X_1 + X_2 + \dots + X_6$

$X$ の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = E(X_1 + X_2 + \dots + X_6) = E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_6)$

$= 6 \times \frac{1}{3} = 2$

$X_1, X_2, \dots, X_6$ は独立なので、$X$ の分散 $V(X)$ は、

$V(X) = V(X_1 + X_2 + \dots + X_6) = V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_6)$

$= 6 \times \frac{2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$X_k$ の期待値：$\frac{1}{3}$

$X_k$ の分散：$\frac{2}{9}$

$X$ の期待値：$2$

$X$ の分散：$\frac{4}{3}$