右図のように、直線 $l$ 上の点 $P$ を頂点とする $PQ = PR$ の直角二等辺三角形 $PQR$ がある。点 $Q$, $R$ からそれぞれ直線 $l$ に垂線を下ろし、交点を $S$, $T$ とする。$PT = 2\mathrm{cm}$, $RT = 4\mathrm{cm}$ のとき、三角形 $PQR$ の面積を求める。

1. 問題の内容

右図のように、直線 $l$ 上の点 $P$ を頂点とする $PQ = PR$ の直角二等辺三角形 $PQR$ がある。点 $Q$, $R$ からそれぞれ直線 $l$ に垂線を下ろし、交点を $S$, $T$ とする。$PT = 2\mathrm{cm}$, $RT = 4\mathrm{cm}$ のとき、三角形 $PQR$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle RPT$と$\triangle QPS$が合同であることを示す。

$\angle RPT + \angle RPQ = 90^\circ$ であり、

$\angle RPQ + \angle QPS = 90^\circ$ であるから、$\angle RPT = \angle QPS$。

また、$\angle RTP = \angle PSQ = 90^\circ$ であり、$PR = PQ$ である。

よって、$\triangle RPT \equiv \triangle QPS$ (直角三角形の斜辺と1鋭角がそれぞれ等しい)。

したがって、$RP = PQ$, $PT = QS$, $RT = PS$。

$PT = 2$ cm より、$QS = 2$ cm。

$RT = 4$ cm より、$PS = 4$ cm。

$TS = PT + PS = 2 + 4 = 6$ cm である。

したがって、$PQ = PR = \sqrt{PT^2 + RT^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm ではない。

$PQ=PR$ であり、$\angle RPQ = 90^{\circ}$の直角二等辺三角形の面積は、$\frac{1}{2}PQ^2$ で求められる。

$PS = 4\mathrm{cm}$ で、$PT = 2\mathrm{cm}$ なので、$ST = 6\mathrm{cm}$。

$QR$ の中点を $M$ とすると、$PM$ は $QR$ に垂直で、$PM = \frac{1}{2} QR$。

$QR = \sqrt{PQ^2 + PR^2} = \sqrt{2PQ^2} = \sqrt{2} PQ$。

三角形 $PQR$ の面積は $\frac{1}{2} PQ \times PR = \frac{1}{2} PQ^2$。

$PS = 4$ であるから、$SQ = 2$。

$\triangle QPS$と$\triangle PTR$において、$\angle QSP = \angle PTR = 90^\circ$,

$\angle SPQ = 90^\circ - \angle RPQ = \angle PRT$。また、$PQ = PR$ より、$\triangle QPS \equiv \triangle PTR$ (斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい)。

よって、$QS = TR = 2$ cm、$SP = RT = 4$ cm。

したがって、$PT = 2$ cm。

$\triangle PQR$ の面積は $\frac{1}{2} \times QR \times PM$。

また、$PQ = PR$ なので、面積は $\frac{1}{2} PQ^2$ でもある。

$PQ = PR = \sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} = \sqrt{20}$ ではない。

$PQ$ と $PR$ の間の角が$90^{\circ}$であるから、面積は $\frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR = \frac{1}{2} \cdot PQ^2$。

$\triangle PQS$ において、$\angle QPS+\angle PQS = 90^\circ$。$\angle RPQ=90^\circ$から、$\angle QPS + \angle RPT = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

よって$\angle PQS = \angle RPT$. $PR=PQ$ゆえ$\triangle PQS \equiv \triangle TPR$である. したがって，$TP=QS=2$ cm, $PS=TR=4$ cm

$P$ から $QR$ へ垂線を引くと、$PM=3$ cm

面積$=\frac{1}{2} \times PR \times PQ = \frac{1}{2} \cdot PQ^2$. また$QR = 2 \sqrt{10} = \sqrt{8+36}$

三角形 $PQR$ の面積 $= \frac{1}{2} PQ \cdot PR = \frac{1}{2} QS \cdot PS = \frac{1}{2} \cdot QR \cdot PM$.

$QR = \sqrt{(4+2)^2+2}=36 cm$

3. 最終的な答え

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