関数 $y = -(x-a)^2 + 6$ の $2 \le x \le 4$ における最小値を、$a$の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -(x-a)^2 + 6$ の $2 \le x \le 4$ における最小値を、$a$の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、上に凸の2次関数であり、軸は $x=a$ です。定義域は $2 \le x \le 4$ です。軸の位置によって最小値を与える$x$の値が変わるので、場合分けをして考えます。

i) $a < 3$ のとき

軸が定義域の中央より左側にある場合です。このとき、$x=4$ で最小値をとります。最小値は $y = -(4-a)^2 + 6 = -16 + 8a - a^2 + 6 = -a^2 + 8a - 10$ となります。

この条件はさらに細かく分割することができます。$a < 2$ のとき、最小値をとる$x$は$x=4$。$2 \le a < 3$のときも、最小値をとる$x$は$x=4$です。

したがって、$a < 3$ のとき、$x = 4$ で最小値 $-a^2 + 8a - 10$ をとります。

ii) $a \ge 3$ のとき

軸が定義域の中央より右側にある場合です。このとき、$x=2$ で最小値をとります。最小値は $y = -(2-a)^2 + 6 = -4 + 4a - a^2 + 6 = -a^2 + 4a + 2$ となります。

この条件もさらに細かく分割することができます。$3 \le a \le 4$のとき、最小値をとる$x$は$x=2$。$a > 4$のときも、最小値をとる$x$は$x=2$です。

したがって、$a \ge 3$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-a^2 + 4a + 2$ をとります。

まとめると、

i) $a < 3$ のとき、$x=4$ で最小値 $-a^2 + 8a - 10$ をとる。

ii) $a \ge 3$ のとき、$x=2$ で最小値 $-a^2 + 4a + 2$ をとる。

3. 最終的な答え

i) $a < 3$ のとき、$x = 4$ で最小値 $-a^2 + 8a - 10$

ii) $3 \le a$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-a^2 + 4a + 2$