与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の特別な場合で、展開の中心が0）を求める問題です。関数は全部で5つあります。それぞれの関数について、 1) $(x^2+x+1)^2 e^{-x^2}$ 2) $\frac{6}{(x+3)^3}$ ただし、$|x|<3$ 3) $\tan^{-1}(x^3)$ ただし、$|x|<1$ 4) $\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$ 5) $x^4 \cos(2x) (3-4\cos^2(2x))$

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の特別な場合で、展開の中心が0）を求める問題です。関数は全部で5つあります。それぞれの関数について、

1) $(x^2+x+1)^2 e^{-x^2}$

2) $\frac{6}{(x+3)^3}$ ただし、$|x|<3$

3) $\tan^{-1}(x^3)$ ただし、$|x|<1$

4) $\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$

5) $x^4 \cos(2x) (3-4\cos^2(2x))$

2. 解き方の手順

1) $(x^2+x+1)^2 e^{-x^2}$ のマクローリン展開

まず、$(x^2+x+1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ です。

次に、$e^{-x^2}$ のマクローリン展開は、$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + ...$ に $u = -x^2$ を代入して、

$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + ...$

したがって、$(x^2+x+1)^2 e^{-x^2} = (x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1) (1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + ...)$

これを展開して、低い次数の項からいくつか書き出すと、

$1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 - \frac{1}{2}x^4 - 2x^5 - \frac{13}{6}x^6 + ...$

2) $\frac{6}{(x+3)^3}$ のマクローリン展開 (|x|<3)

ヒント1より、$\frac{2}{(x+3)^3} = (\frac{1}{x+3})''$ であることがわかります。

$\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3(1 + \frac{x}{3})} = \frac{1}{3} (1 + \frac{x}{3})^{-1} = \frac{1}{3} (1 - \frac{x}{3} + (\frac{x}{3})^2 - (\frac{x}{3})^3 + ...)$

$= \frac{1}{3} - \frac{x}{9} + \frac{x^2}{27} - \frac{x^3}{81} + ...$

これを2回微分すると、

$(\frac{1}{x+3})'' = \frac{2}{27} - \frac{6x}{81} + ...$

したがって、$\frac{6}{(x+3)^3} = 3 (\frac{1}{x+3})'' = \frac{6}{27} - \frac{18x}{81} + ... = \frac{2}{9} - \frac{2}{9}x + ...$

3) $\tan^{-1}(x^3)$ のマクローリン展開 (|x|<1)

ヒント2より、$\tan^{-1}(X) = \int_0^X \frac{dt}{1+t^2}$ です。

$\tan^{-1}(x^3) = \int_0^{x^3} \frac{dt}{1+t^2}$

$\frac{1}{1+t^2} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + ...$

$\tan^{-1}(x^3) = \int_0^{x^3} (1 - t^2 + t^4 - t^6 + ...) dt = [t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + ...]_0^{x^3} = x^3 - \frac{x^9}{3} + \frac{x^{15}}{5} - \frac{x^{21}}{7} + ...$

4) $\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$ のマクローリン展開

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ... = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + ...$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + ... = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + ...$

$\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2} = \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + ...) + (1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + ...)}{2} = \frac{2 + 4x^2 + \frac{8x^4}{4!} + \frac{32 x^6}{6!} + ...}{2} = 1 + 2x^2 + \frac{2x^4}{3} + \frac{4x^6}{45} + ... = \cosh(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}$

5) $x^4 \cos(2x) (3-4\cos^2(2x))$ のマクローリン展開

$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - ... = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - ...$

$3 - 4\cos^2(2x) = 3 - 4 (1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - ...)^2 = 3 - 4 (1 - 4x^2 + \frac{8x^4}{3} + 4x^4 - ...) = 3 - 4 + 16x^2 - \frac{44 x^4}{3} + ... = -1 + 16x^2 - \frac{44}{3} x^4 + ...$

$x^4 \cos(2x) (3-4\cos^2(2x)) = x^4 (1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - ...) (-1 + 16x^2 - \frac{44}{3} x^4 + ...) = x^4 (-1 + 16x^2 - \frac{44}{3}x^4 + 2x^2 - 32x^4 + ... - \frac{2x^4}{3} + ...) = -x^4 + 18x^6 - \frac{180}{3}x^8 + ... = -x^4 + 18x^6 - 60 x^8 + ...$

3. 最終的な答え

1) $(x^2+x+1)^2 e^{-x^2} = 1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 - \frac{1}{2}x^4 - 2x^5 - \frac{13}{6}x^6 + ...$

2) $\frac{6}{(x+3)^3} = \frac{2}{9} - \frac{2}{9}x + ...$

3) $\tan^{-1}(x^3) = x^3 - \frac{x^9}{3} + \frac{x^{15}}{5} - \frac{x^{21}}{7} + ...$

4) $\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2} = 1 + 2x^2 + \frac{2x^4}{3} + \frac{4x^6}{45} + ...$

5) $x^4 \cos(2x) (3-4\cos^2(2x)) = -x^4 + 18x^6 - 60x^8 + ...$