第10項が-14、第30項が66である等差数列において、初項から第何項までの和が初めて正になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

第10項が-14、第30項が66である等差数列において、初項から第何項までの和が初めて正になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とします。

第n項は $a_n = a + (n-1)d$ で表されます。

問題文より、

第10項は -14 なので、$a_{10} = a + 9d = -14$

第30項は 66 なので、$a_{30} = a + 29d = 66$

これら2つの式から、$a$ と $d$ を求めます。

$a + 29d = 66$ から $a + 9d = -14$ を引くと、

$20d = 80$ となり、$d = 4$ が得られます。

$d = 4$ を $a + 9d = -14$ に代入すると、

$a + 9(4) = -14$

$a + 36 = -14$

$a = -50$

よって、初項は $a = -50$、公差は $d = 4$ となります。

初項から第n項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ で表されます。

$S_n = \frac{n}{2} [2(-50) + (n-1)4] = \frac{n}{2} [-100 + 4n - 4] = \frac{n}{2} [4n - 104] = n(2n - 52) = 2n^2 - 52n$

$S_n > 0$ となる最小のnを求めます。

$2n^2 - 52n > 0$

$2n(n - 26) > 0$

$n(n - 26) > 0$

$n>0$ なので、$n-26>0$ となる必要があります。

よって、$n > 26$

したがって、初項から第27項までの和が初めて正となります。

3. 最終的な答え

27項