3つの実数 $a, b, c$ があり、この順で等比数列をなし、$c, a, b$ の順で等差数列をなす。$a, b, c$ の積が $-27$ であるとき、$a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

3つの実数 $a, b, c$ があり、この順で等比数列をなし、$c, a, b$ の順で等差数列をなす。$a, b, c$ の積が $-27$ であるとき、$a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a, b, c$ が等比数列であることから、$b^2 = ac$ が成り立つ。

次に、$c, a, b$ が等差数列であることから、$2a = c + b$ が成り立つ。

また、$abc = -27$ である。

$b^2 = ac$ より、$c = \frac{b^2}{a}$。

これを $2a = c + b$ に代入すると、

$2a = \frac{b^2}{a} + b$

両辺に $a$ を掛けて、

$2a^2 = b^2 + ab$

$2a^2 - ab - b^2 = 0$

$(2a + b)(a - b) = 0$

よって、$2a + b = 0$ または $a - b = 0$ となる。

(i) $2a + b = 0$ のとき、$b = -2a$。

$abc = a(-2a)c = -2a^2c = -27$ より、$a^2c = \frac{27}{2}$。

$b^2 = ac$ より、 $(-2a)^2 = 4a^2 = ac$。

したがって、$4a^2 = c$。

これを $a^2c = \frac{27}{2}$ に代入すると、$a^2(4a^2) = 4a^4 = \frac{27}{2}$。

$a^4 = \frac{27}{8}$。

$a = \pm \sqrt[4]{\frac{27}{8}} = \pm \sqrt[4]{\frac{54}{16}} = \pm \frac{\sqrt[4]{54}}{2}$

$a$ が実数なので、$a = \pm \frac{\sqrt[4]{54}}{2}$。

$b = -2a = \mp \sqrt[4]{54}$。

$c = 4a^2 = 4(\frac{\sqrt{54}}{4}) = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$。

$abc = (\pm \frac{\sqrt[4]{54}}{2})(\mp \sqrt[4]{54})(\sqrt{54}) = -(\frac{\sqrt{54}}{2})(\sqrt{54}) = -\frac{54}{2} = -27$

よって、$a = \frac{\sqrt[4]{54}}{2}, b = -\sqrt[4]{54}, c = \sqrt{54}$ または $a = -\frac{\sqrt[4]{54}}{2}, b = \sqrt[4]{54}, c = \sqrt{54}$。

$2a = c + b$ を確認する。$2(\frac{\sqrt[4]{54}}{2}) = \sqrt[4]{54}, \sqrt{54} - \sqrt[4]{54} \neq \sqrt[4]{54}$。

(ii) $a - b = 0$ のとき、$a = b$。

$abc = a^2c = -27$。

$b^2 = ac$ より、$a^2 = ac$。$a \neq 0$ であるから、$a = c$。

よって、$a^2c = a^3 = -27$。したがって、$a = -3$。

$a = b = c = -3$ となる。

$2a = c + b$ を確認する。$2(-3) = -6, -3 + (-3) = -6$。

3. 最終的な答え

$a = b = c = -3$