与えられた数列の総和を求める問題です。数列は $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ で与えられています。この数列の総和を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の総和を求める問題です。数列は $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ で与えられています。この数列の総和を計算します。

2. 解き方の手順

総和を $\sum_{k=1}^{n} k^2(n-k+1)$ と表すことができます。

この総和を計算するために、以下の手順で進めます。

まず、総和の式を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} nk^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$

次に、それぞれの総和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} nk^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2 = n\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)}{6} [n(2n+1) - \frac{3}{2}n(n+1) + (2n+1)]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [2n^2 + n - \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 2n + 1]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [\frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + 1]$

$= \frac{n(n+1)}{12} [n^2 + 3n + 2]$

$= \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$