$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin^2 \theta + (1 + \sqrt{3}) \sin \theta \cos \theta + \sqrt{3} \cos^2 \theta = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin^2 \theta + (1 + \sqrt{3}) \sin \theta \cos \theta + \sqrt{3} \cos^2 \theta = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を $\cos^2 \theta$ で割る（ただし、$\cos \theta = 0$ の場合は別途検討する）。

$\cos \theta = 0$ のとき、$\theta = 90^\circ$ であり、与式に代入すると $\sin^2 90^\circ + (1+\sqrt{3}) \sin 90^\circ \cos 90^\circ + \sqrt{3}\cos^2 90^\circ = 1^2 + 0 + 0 = 1 \ne 0$ となるので、$\cos \theta = 0$ は解ではない。

したがって、$\cos^2 \theta \ne 0$ なので、与式を $\cos^2 \theta$ で割ると、

$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + (1+\sqrt{3}) \frac{\sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta} + \sqrt{3} \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 0$

$\tan^2 \theta + (1+\sqrt{3}) \tan \theta + \sqrt{3} = 0$

この式を $\tan \theta$ についての2次方程式と見て解く。

$(\tan \theta + 1)(\tan \theta + \sqrt{3}) = 0$

$\tan \theta = -1$ または $\tan \theta = -\sqrt{3}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = -1$ となるのは $\theta = 135^\circ$ のときである。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = 120^\circ$ のときである。

3. 最終的な答え

$\theta = 120^\circ, 135^\circ$