与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。ただし、$a$ は定数です。 (1) $y = 2x - \cos x$ (2) $y = \sin x^2 - \tan x$ (3) $y = x^2 \sin(3x + 5)$ (4) $y = \sin^3 (2x + 1)$ (5) $y = \frac{1}{\sqrt{\tan x}}$ (6) $y = \sin ax \cdot \cos ax$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。ただし、$a$ は定数です。

(1) $y = 2x - \cos x$

(2) $y = \sin x^2 - \tan x$

(3) $y = x^2 \sin(3x + 5)$

(4) $y = \sin^3 (2x + 1)$

(5) $y = \frac{1}{\sqrt{\tan x}}$

(6) $y = \sin ax \cdot \cos ax$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算します。

(1) $y = 2x - \cos x$

微分すると

$y' = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(\cos x) = 2 - (-\sin x) = 2 + \sin x$

(2) $y = \sin x^2 - \tan x$

$\frac{d}{dx}(\sin x^2) = \cos x^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \cos x^2 \cdot 2x = 2x \cos x^2$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

よって

$y' = 2x \cos x^2 - \sec^2 x$

(3) $y = x^2 \sin(3x + 5)$

積の微分法を使います。

$y' = \frac{d}{dx}(x^2) \sin(3x + 5) + x^2 \frac{d}{dx}(\sin(3x + 5))$

$= 2x \sin(3x + 5) + x^2 \cos(3x + 5) \cdot \frac{d}{dx}(3x + 5)$

$= 2x \sin(3x + 5) + x^2 \cos(3x + 5) \cdot 3$

$= 2x \sin(3x + 5) + 3x^2 \cos(3x + 5)$

(4) $y = \sin^3 (2x + 1)$

合成関数の微分法を使います。

$y' = 3 \sin^2 (2x + 1) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x + 1))$

$= 3 \sin^2 (2x + 1) \cdot \cos(2x + 1) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1)$

$= 3 \sin^2 (2x + 1) \cdot \cos(2x + 1) \cdot 2$

$= 6 \sin^2 (2x + 1) \cos(2x + 1)$

(5) $y = \frac{1}{\sqrt{\tan x}} = (\tan x)^{-1/2}$

$y' = -\frac{1}{2} (\tan x)^{-3/2} \cdot \frac{d}{dx}(\tan x)$

$= -\frac{1}{2} (\tan x)^{-3/2} \cdot \sec^2 x$

$= -\frac{\sec^2 x}{2 (\tan x)^{3/2}}$

(6) $y = \sin ax \cdot \cos ax$

積の微分法を使います。

$y' = (\sin ax)' \cos ax + \sin ax (\cos ax)'$

$= a \cos ax \cos ax + \sin ax (-a \sin ax)$

$= a \cos^2 ax - a \sin^2 ax$

$= a (\cos^2 ax - \sin^2 ax)$

$= a \cos 2ax$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2 + \sin x$

(2) $y' = 2x \cos x^2 - \sec^2 x$

(3) $y' = 2x \sin(3x + 5) + 3x^2 \cos(3x + 5)$

(4) $y' = 6 \sin^2 (2x + 1) \cos(2x + 1)$

(5) $y' = -\frac{\sec^2 x}{2 (\tan x)^{3/2}}$

(6) $y' = a \cos 2ax$