袋の中に0, 1, 2, 3と書かれたカードが1枚ずつ入っている。この袋からカードを1枚取り出し、数字を確認して元に戻すことを繰り返す。k回目に取り出したカードに書かれた数を $a_k$ とし、$S_n = a_1a_2...a_{n-1} + a_n$ (n=2, 3, 4, ...)と定める。 (1) $S_2 = 0$ となる確率、$S_2 = 2$ となる確率をそれぞれ求める。 (2) $S_4 = 0$ となる確率、$S_4 = 2$ となる確率をそれぞれ求める。 (3) nを3以上の整数とする。$S_n = 6$ となる確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に0, 1, 2, 3と書かれたカードが1枚ずつ入っている。この袋からカードを1枚取り出し、数字を確認して元に戻すことを繰り返す。k回目に取り出したカードに書かれた数を $a_k$ とし、$S_n = a_1a_2...a_{n-1} + a_n$ (n=2, 3, 4, ...)と定める。

(1) $S_2 = 0$ となる確率、$S_2 = 2$ となる確率をそれぞれ求める。

(2) $S_4 = 0$ となる確率、$S_4 = 2$ となる確率をそれぞれ求める。

(3) nを3以上の整数とする。$S_n = 6$ となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S_2 = a_1 + a_2$

$S_2 = 0$ となるのは、$a_1 = 0$ かつ $a_2 = 0$ のときのみ。

$a_1 = 0$ となる確率は $\frac{1}{4}$、$a_2 = 0$ となる確率は $\frac{1}{4}$。

よって、$S_2 = 0$ となる確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

$S_2 = 2$ となるのは、

$a_1 = 0$ かつ $a_2 = 2$ のとき、$a_1 = 1$ かつ $a_2 = 1$ のとき、$a_1 = 2$ かつ $a_2 = 0$ のとき。

$a_1 = 0$ かつ $a_2 = 2$ となる確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

$a_1 = 1$ かつ $a_2 = 1$ となる確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

$a_1 = 2$ かつ $a_2 = 0$ となる確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

よって、$S_2 = 2$ となる確率は $\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$。

(2) $S_4 = a_1a_2a_3 + a_4$

$S_4 = 0$ となるのは、$a_1a_2a_3 = 0$ かつ $a_4 = 0$ のとき。

$a_1a_2a_3 = 0$ となるのは、$a_1, a_2, a_3$ の少なくとも一つが0のとき。

$a_1a_2a_3 \ne 0$ となる確率は $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{64}$。

したがって、$a_1a_2a_3 = 0$ となる確率は $1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$。

$a_4 = 0$ となる確率は $\frac{1}{4}$。

よって、$S_4 = 0$ となる確率は $\frac{37}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{37}{256}$。

$S_4 = 2$ となるのは、$a_1a_2a_3 + a_4 = 2$ となるとき。

(i) $a_1a_2a_3 = 0$ かつ $a_4 = 2$ のとき:

確率は $\frac{37}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{37}{256}$

(ii) $a_1a_2a_3 = 1$ かつ $a_4 = 1$ のとき:

$a_1 = a_2 = a_3 = 1$ なので、確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{256}$

(iii) $a_1a_2a_3 = 2$ かつ $a_4 = 0$ のとき:

$(a_1, a_2, a_3)$ の組み合わせは、(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1) の3通り。

確率は $3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{256}$

よって、$S_4 = 2$ となる確率は $\frac{37}{256} + \frac{1}{256} + \frac{3}{256} = \frac{41}{256}$。

(3) $S_n = a_1a_2...a_{n-1} + a_n = 6$

$a_1, a_2, ..., a_{n-1}$ はそれぞれ0, 1, 2, 3 のいずれか。

$a_n$ は0, 1, 2, 3 のいずれか。

$a_1a_2...a_{n-1} = k$ とすると、$a_n = 6-k$。

$0 \le a_n \le 3$ より、$3 \le k \le 6$。

$a_1a_2...a_{n-1} = 3$ のとき、$a_n = 3$

$a_1a_2...a_{n-1} = 4$ のとき、$a_n = 2$

$a_1a_2...a_{n-1} = 5$ のとき、$a_n = 1$

$a_1a_2...a_{n-1} = 6$ のとき、$a_n = 0$

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 3$ になるのは、$1\times1\times ...\times 1 \times 3$ とか、$1\times 1 \times ...\times 3 \times 1$のように、一つだけ3で残りは1、または$1\times ...\times 1 \times 1 \times 1 \times 3$などの組み合わせ。

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 4$ になるのは、$1\times 1 \times... \times 2 \times 2$とか、$1\times ... \times 1 \times 4$のような組み合わせ。

求める確率は難しい。$n$の値が特定されていないと一般的に表すのは困難である。

3. 最終的な答え

(1) $S_2 = 0$ となる確率: $\frac{1}{16}$

$S_2 = 2$ となる確率: $\frac{3}{16}$

(2) $S_4 = 0$ となる確率: $\frac{37}{256}$

$S_4 = 2$ となる確率: $\frac{41}{256}$

(3) $S_n = 6$ となる確率: 計算困難（$n$が特定されていないため）