関数 $f(x) = x^2 - x$ の導関数を定義に従って求める問題です。導関数の定義式を計算し、簡略化することで、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - x$ の導関数を定義に従って求める問題です。導関数の定義式を計算し、簡略化することで、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

導関数の定義式は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

$f(x) = x^2 - x$ なので、

$f(x+h) = (x+h)^2 - (x+h) = x^2 + 2xh + h^2 - x - h$

となります。

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - x - h) - (x^2 - x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - h}{h}$

となります。

$h$で割ると

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 1)$

$h \to 0$ の極限を取ると

$f'(x) = 2x - 1$

となります。

問題に与えられた式に当てはめると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\{(x+h)^2 - (x+h)\} - \{x^2 - x\}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x - h - x^2 + x}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - h}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 1)$

$f'(x) = 2x - 1$

したがって、

A: $x+h$

B: $2$

C: $x$

D: $h$

E: $1$

3. 最終的な答え

A: x+h

B: 2

C: x

D: h

E: 1