関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 - 4$ （ただし、$0 \leqq x \leqq 4$）の最大値を求める問題です。最大値を与える $x$ の値と最大値を、$a$ の範囲によって場合分けして求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 - 4$ （ただし、$0 \leqq x \leqq 4$）の最大値を求める問題です。最大値を与える $x$ の値と最大値を、$a$ の範囲によって場合分けして求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = (x-a)^2 - 4$

この関数は、$x=a$ を軸とする下に凸の放物線です。定義域が $0 \leqq x \leqq 4$ であるため、$a$ の値によって最大値を取る $x$ の値が変わります。

i) $a < 2$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の中央 ($x=2$) より左にある場合、$x=4$ で最大値を取ります。

$x=4$ を代入すると、

$y = (4-a)^2 - 4 = 16 - 8a + a^2 - 4 = a^2 - 8a + 12$

$a < 2$

ii) $2 \leqq a$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の中央 ($x=2$) より右にある場合、$x=0$ で最大値を取ります。

$x=0$ を代入すると、

$y = (0-a)^2 - 4 = a^2 - 4$

$2 \leqq a$

上記の内容をもとに解答します。

i) $a < 2$ のとき、$x=4$ で最大値 $a^2 - 8a + 12$ をとります。

ii) $2 \leqq a$ のとき、$x=0$ で最大値 $a^2 - 4$ をとります。

3. 最終的な答え

i) $a < 2$ のとき、$x=4$ で最大値 $a^2 - 8a + 12$

ii) $2 \leqq a$ のとき、$x=0$ で最大値 $a^2 - 4$