与えられた関数をマクローリン展開しなさい。ただし、関数2)は $|x| < 3$、関数3)は $|x| < 1$を満たすとします。与えられた関数は以下の通りです。 1) $(x^2 + x + 1)^2 e^{-x^2}$ 2) $\frac{6}{(x+3)^3}$ 3) $\tan^{-1} x^3$ 4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ 5) $x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x)$

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開しなさい。ただし、関数2)は $|x| < 3$、関数3)は $|x| < 1$を満たすとします。与えられた関数は以下の通りです。

1) $(x^2 + x + 1)^2 e^{-x^2}$

2) $\frac{6}{(x+3)^3}$

3) $\tan^{-1} x^3$

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$

5) $x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x)$

2. 解き方の手順

それぞれの関数についてマクローリン展開を求めます。

1) $(x^2 + x + 1)^2 e^{-x^2}$

まず、$e^{-x^2}$のマクローリン展開は

$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$

$(x^2+x+1)^2 = (x^2+x+1)(x^2+x+1) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$

よって、

$(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1)(1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots) = 1 + 2x + 2x^2 - 2x^4 + \cdots$

2) $\frac{6}{(x+3)^3}$

$\frac{1}{x+3}$のマクローリン展開を求めます。

$\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3} \frac{1}{1 + \frac{x}{3}} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{3})^n = \frac{1}{3} - \frac{x}{9} + \frac{x^2}{27} - \frac{x^3}{81} + \cdots$

与えられたヒントから、

$\frac{d^2}{dx^2} (\frac{1}{x+3}) = \frac{2}{(x+3)^3}$

$\frac{d^2}{dx^2} (\frac{1}{3} - \frac{x}{9} + \frac{x^2}{27} - \frac{x^3}{81} + \cdots) = \frac{2}{27} - \frac{6x}{81} + \cdots$

$\frac{6}{(x+3)^3} = 3(\frac{2}{27} - \frac{6x}{81} + \cdots) = \frac{2}{9} - \frac{2x}{9} + \cdots$

3) $\tan^{-1} x^3$

$\tan^{-1} X = \int_0^X \frac{dt}{1+t^2}$ より、

$\tan^{-1} x^3 = \int_0^{x^3} \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^{x^3} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^{x^3} t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(x^3)^{2n+1}}{2n+1} = x^3 - \frac{x^9}{3} + \frac{x^{15}}{5} - \cdots$

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \cdots$

$\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \frac{1}{2} (2 + \frac{2 (2x)^2}{2!} + \frac{2 (2x)^4}{4!} + \cdots) = 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \cdots = 1 + 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 + \cdots = \cosh(2x)$

5) $x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x)$

$3 - 4 \cos^2 2x = - \cos 6x$

よって、$x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x) = - x^4 \cos 2x \cos 6x$

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 - \cdots$

$\cos 6x = 1 - \frac{(6x)^2}{2!} + \frac{(6x)^4}{4!} - \cdots = 1 - 18x^2 + \frac{81}{2} x^4 - \cdots$

$\cos 2x \cos 6x = (1 - 2x^2 + \cdots)(1 - 18x^2 + \cdots) = 1 - 20x^2 + \cdots$

$- x^4 (1 - 20x^2 + \cdots) = - x^4 + 20x^6 - \cdots$

3. 最終的な答え

1) $(x^2 + x + 1)^2 e^{-x^2} = 1 + 2x + 2x^2 - 2x^4 + \cdots$

2) $\frac{6}{(x+3)^3} = \frac{2}{9} - \frac{2}{9}x + \cdots$

3) $\tan^{-1} x^3 = x^3 - \frac{x^9}{3} + \frac{x^{15}}{5} - \cdots$

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = 1 + 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 + \cdots = \cosh(2x)$

5) $x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x) = -x^4 + 20x^6 - \cdots$