与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x+y+4)(x+y+1)$ (2) $(x-y-3)(x-y-6)$ (3) $(a-b+3)^2$ (4) $(a+b-7)(a+b+7)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x+y+4)(x+y+1)$

(2) $(x-y-3)(x-y-6)$

(3) $(a-b+3)^2$

(4) $(a+b-7)(a+b+7)$

2. 解き方の手順

(1) $x+y = A$ とおくと、

$(x+y+4)(x+y+1) = (A+4)(A+1) = A^2 + 5A + 4$

$A$ を $x+y$ に戻すと、

$(x+y)^2 + 5(x+y) + 4 = x^2 + 2xy + y^2 + 5x + 5y + 4$

(2) $x-y = B$ とおくと、

$(x-y-3)(x-y-6) = (B-3)(B-6) = B^2 - 9B + 18$

$B$ を $x-y$ に戻すと、

$(x-y)^2 - 9(x-y) + 18 = x^2 - 2xy + y^2 - 9x + 9y + 18$

(3) $(a-b+3)^2 = (a-b+3)(a-b+3)$

$= a(a-b+3) - b(a-b+3) + 3(a-b+3)$

$= a^2 - ab + 3a - ab + b^2 - 3b + 3a - 3b + 9$

$= a^2 + b^2 - 2ab + 6a - 6b + 9$

(4) $a+b = C$ とおくと、

$(a+b-7)(a+b+7) = (C-7)(C+7) = C^2 - 49$

$C$ を $a+b$ に戻すと、

$(a+b)^2 - 49 = a^2 + 2ab + b^2 - 49$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2xy + y^2 + 5x + 5y + 4$

(2) $x^2 - 2xy + y^2 - 9x + 9y + 18$

(3) $a^2 + b^2 - 2ab + 6a - 6b + 9$

(4) $a^2 + 2ab + b^2 - 49$