二次関数 $y = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2$ において、定義域 $-2 \le x \le 2$ における最大値を求める問題です。場合分けが必要なようです。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2$ において、定義域 $-2 \le x \le 2$ における最大値を求める問題です。場合分けが必要なようです。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2 \\

&= 3(x^2 - 2ax) + 3a^2 + 2 \\

&= 3(x^2 - 2ax + a^2) - 3a^2 + 3a^2 + 2 \\

&= 3(x - a)^2 + 2

\end{align*}

この二次関数の頂点は $(a, 2)$ であり、下に凸な放物線です。定義域 $-2 \le x \le 2$ における最大値を求めるために、軸 $x = a$ の位置によって場合分けをします。

i) $a < -2$ のとき、定義域の左端 $x = -2$ で最大となります。最大値は

$y = 3(-2 - a)^2 + 2 = 3(a+2)^2 + 2 = 3(a^2+4a+4)+2=3a^2 + 12a + 14$

ii) $-2 \le a \le 2$ のとき、定義域の端点 $x=-2$ または $x=2$ で最大となる可能性があります。$f(-2) = 3a^2+12a+14$、$f(2) = 3a^2-12a+14$であるので、$a \le 2$では$x=-2$で最大値、$a \ge -2$では$x=2$で最大値を取るとは言えません。しかし、$x=-2$と$x=2$との中点である$x=a$を中心に放物線は対称であるため、$a$が$-2$に近いほど$x=2$で最大、$a$が$2$に近いほど$x=-2$で最大になります。

iii) $a > 2$ のとき、定義域の右端 $x = 2$ で最大となります。最大値は

$y = 3(2 - a)^2 + 2 = 3(a-2)^2 + 2 = 3(a^2-4a+4)+2=3a^2 - 12a + 14$

問題では2つの場合分けしか聞かれていないため、i)とiii)についてのみ考えます。

i) $a < -2$ のとき、$x = -2$ で最大値 $3a^2 + 12a + 14$

ii) $a > 2$の場合、$x=2$で最大値 $3a^2 -12a + 14$

3. 最終的な答え

i) $a < -2$ のとき、$x = -2$ で最大値 $3a^2 + 12a + 14$

ii) $2 \le a$ のとき、$x = 2$ で最大値 $3a^2 - 12a + 14$