関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 - 6$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 - 6$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 - 6$

$y = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 - 6$

$y = 2(x - a)^2 - 6$

この放物線の軸は $x = a$ です。定義域 $-4 \le x \le 2$ における最大値は、$a$ の位置によって変わります。

i) $a < -4$ のとき、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は大きくなるので、$x=2$ で最大値をとります。

$x=2$ を代入すると、

$y = 2(2-a)^2 - 6 = 2(4 - 4a + a^2) - 6 = 2a^2 - 8a + 8 - 6 = 2a^2 - 8a + 2$

ii) $-4 \le a \le 2$ のとき、$x=-4$または$x=2$のどちらかで最大になる。

$x=-4$のとき $y=2(-4-a)^2-6 = 2(16+8a+a^2)-6 = 2a^2+16a+26$

$x=2$のとき $y=2(2-a)^2-6 = 2(4-4a+a^2)-6 = 2a^2-8a+2$

ここで$2a^2+16a+26 - (2a^2-8a+2) = 24a+24$.

$24a+24 \ge 0$のとき $a \ge -1$で、$x=-4$のとき最大値をとる。

$24a+24 < 0$のとき $a < -1$で、$x=2$のとき最大値をとる。

$-4 \le a < -1$のとき、$x=2$で最大値をとる。

$y = 2(2-a)^2 - 6 = 2(4 - 4a + a^2) - 6 = 2a^2 - 8a + 8 - 6 = 2a^2 - 8a + 2$

$-1 \le a \le 2$のとき、$x=-4$で最大値をとる。

$y = 2(-4-a)^2 - 6 = 2(16 + 8a + a^2) - 6 = 2a^2 + 16a + 32 - 6 = 2a^2 + 16a + 26$

iii) $2 < a$ のとき、定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ は大きくなるので、$x=-4$ で最大値をとります。

$x=-4$ を代入すると、

$y = 2(-4-a)^2 - 6 = 2(16 + 8a + a^2) - 6 = 2a^2 + 16a + 32 - 6 = 2a^2 + 16a + 26$

以上をまとめると、

i) $a < -4$のとき、 $x=2$ で最大値 $2a^2 - 8a + 2$

ii) $a > 2$のとき、$x=-4$ で最大値 $2a^2 + 16a + 26$

iii) $-4 \le a \le 2$ のとき、$a<-1$ならば $x=2$ で最大値 $2a^2 - 8a + 2$

$-1 \le a$ ならば $x=-4$ で最大値 $2a^2 + 16a + 26$

この問題の回答は、

i) $a < -4$ のとき、$x = 2$ で最大値 $2a^2 - 8a + 2$

ii) $2 \le a$ のとき、$x = -4$ で最大値 $2a^2 + 16a + 26$

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = 2$ で最大値 $2a^2 - 8a + 2$

ii) $2 \le a$ のとき、$x = -4$ で最大値 $2a^2 + 16a + 26$