整数 $n$ について、$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

対偶証明法を用いる。つまり、「$n$ が5の倍数でないならば、$n^2$ は5の倍数でない」ことを示す。

$n$ が5の倍数でないとき、$n$ は整数 $k$ を用いて、$n = 5k+1$, $n = 5k+2$, $n = 5k+3$, $n = 5k+4$ のいずれかで表される。

(i) $n = 5k+1$ のとき、

$n^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$

$n^2$ は5で割ると1余る数なので、5の倍数ではない。

(ii) $n = 5k+2$ のとき、

$n^2 = (5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$

$n^2$ は5で割ると4余る数なので、5の倍数ではない。

(iii) $n = 5k+3$ のとき、

$n^2 = (5k+3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

$n^2$ は5で割ると4余る数なので、5の倍数ではない。

(iv) $n = 5k+4$ のとき、

$n^2 = (5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$

$n^2$ は5で割ると1余る数なので、5の倍数ではない。

いずれの場合も、$n^2$ は5の倍数ではない。よって、$n$ が5の倍数でないならば、$n^2$ は5の倍数ではない。

したがって、対偶が証明されたので、$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である。（証明終わり）