与えられた方程式 $x^4 - 3x^2 + 1 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^4 - 3x^2 + 1 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この方程式は複二次式なので、$x^2 = t$ とおくと、

$t^2 - 3t + 1 = 0$

となります。

この二次方程式を解くと、

$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

となります。

次に、$x^2 = t$ なので、

$x^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ または $x^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

となります。

したがって、$x$ は、

$x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$ または $x = \pm \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}$

となります。

ここで、$\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

また、$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

と変形できます。

3. 最終的な答え

$x = \pm \frac{\sqrt{5}+1}{2}, \pm \frac{\sqrt{5}-1}{2}$