与えられた4次式 $x^4 - 3x + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - 3x + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与式を次のように変形します。

$x^4 - 3x + 1 = x^4 + x^2 + 1 - x^2 - 3x = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 - 2x^2 - 3x = (x^2+1)^2 - x^2 -3x$.

このままでは因数分解できません。

次に、$x^4 - 3x + 1$ を $x^2 + ax + 1$ と $x^2 + bx + 1$ の積の形に因数分解できると仮定します。

$(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) = x^4 + (a+b)x^3 + (2+ab)x^2 + (a+b)x + 1$

これを $x^4 - 3x + 1$ と比較すると、$x^3$と$x^2$の係数が0である必要があるので、

$a+b=0$

$2+ab=0$

この2つの式から $b = -a$ かつ $2 - a^2 = 0$ が得られます。

$a^2=2$ より $a=\pm \sqrt{2}$ となります。

このとき $a+b = 0$, $ab = -2$, $a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$ とすると、

$(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1) = x^4 - x^2 + 1$ となります.

ここで，与式を以下のように変形します。

$x^4 - 3x + 1 = x^4 - x^2 + 1 + x^2 - 3x$

$x^4 - 3x + 1$を$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$の形に因数分解すると仮定する。

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd$

これを$x^4 - 3x + 1$と係数比較すると、

$a+c = 0$

$b+d+ac=0$

$ad+bc=-3$

$bd = 1$

$b = d = \pm 1$なので、

$b = d = 1$のとき、$2+ac=0$, $a+c=-3$. これは$a+c=0$と矛盾するので不適。

$b=d=-1$のとき、$-2+ac=0$, $-a-c=-3$, $a+c=3$, $ac=2$.

この時，$a, c$は$t^2 - 3t + 2 = 0$の解なので$(t-1)(t-2)=0$, よって$t = 1, 2$.

したがって，$a=1, c=2$または$a=2, c=1$.

したがって、$x^4 - 3x + 1 = (x^2 + x - 1)(x^2 + 2x - 1)$.

3. 最終的な答え

$(x^2 + x - 1)(x^2 + 2x - 1)$