与えられた式 $2x^2+3xy+y^2+4x+y-6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2+3xy+y^2+4x+y-6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (3y+4)x + (y^2+y-6)$

次に、定数項である $y^2+y-6$ を因数分解します。

$y^2+y-6 = (y+3)(y-2)$

与えられた式が因数分解できると仮定して、$(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形になると考えます。$2x^2$ の係数から $a$ と $d$ は $a \times d = 2$ を満たし、$y^2$ の係数から $b$ と $e$ は $b \times e = 1$ を満たします。また、$y^2+y-6$ の因数分解の結果から、$c$ と $f$ は $(y+3)$ と $(y-2)$ の定数倍になります。

$2x^2+(3y+4)x+(y+3)(y-2)$ を因数分解すると、

$(2x+y+3)(x+y-2)$

となります。

実際に展開して確認します。

$(2x+y+3)(x+y-2) = 2x^2 + 2xy - 4x + xy + y^2 - 2y + 3x + 3y - 6$

$= 2x^2 + 3xy + y^2 - x + y - 6$

最初の $x$ について整理する際に、間違いがありました。

$2x^2 + (3y+4)x + (y^2+y-6)$

この式を$(2x+y+a)(x+y+b)$の形に因数分解できると仮定すると、

$(2x+y+a)(x+y+b) = 2x^2 + 2xy + 2bx + xy + y^2 + by + ax + ay + ab = 2x^2 + 3xy + y^2 + (2b+a)x + (b+a)y + ab$

となります。

$2b+a = 4$

$b+a = 1$

$ab = -6$

この連立方程式を解くと、$a = -2$, $b = 3$ となります。

したがって、

$(2x+y-2)(x+y+3)$

となります。

実際に展開して確認します。

$(2x+y-2)(x+y+3) = 2x^2 + 2xy + 6x + xy + y^2 + 3y - 2x - 2y - 6$

$= 2x^2 + 3xy + y^2 + 4x + y - 6$

3. 最終的な答え

$(2x+y-2)(x+y+3)$