第10項が-14、第30項が66である等差数列において、初項から第何項までの和が初めて正になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

第10項が-14、第30項が66である等差数列において、初項から第何項までの和が初めて正になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおきます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$a_{10} = a + 9d = -14$

$a_{30} = a + 29d = 66$

これらの式を連立させて解き、$a$ と $d$ を求めます。

第2の式から第1の式を引くと、

$20d = 80$

$d = 4$

$d=4$を最初の式に代入すると、

$a + 9(4) = -14$

$a + 36 = -14$

$a = -50$

したがって、初項 $a = -50$、公差 $d = 4$ であることがわかりました。

次に、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。等差数列の和の公式は、

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

これに $a = -50$ と $d = 4$ を代入すると、

$S_n = \frac{n}{2} (2(-50) + (n-1)4)$

$S_n = \frac{n}{2} (-100 + 4n - 4)$

$S_n = \frac{n}{2} (4n - 104)$

$S_n = n(2n - 52)$

$S_n = 2n^2 - 52n$

$S_n > 0$ となる最小の $n$ を求めます。

$2n^2 - 52n > 0$

$2n(n - 26) > 0$

$n>0$ より、

$n - 26 > 0$

$n > 26$

$n$ は自然数なので、$S_n$ が初めて正となるのは $n = 27$ のときです。

3. 最終的な答え

27項