## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は、与えられた二次方程式について、以下の3つのタイプの問題を解くことを求めています。

* **問題12:** 定数 $m$ を含む二次方程式の解の種類を判別する。

* **問題13:** 二次方程式の2つの解の和と積を求める。

* **問題14:** 二次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、与えられた式の値を求める。

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2. 解き方の手順

### 問題12

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、重解（1つの実数解）を持つ。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

**(1) $2x^2 + 5x + m = 0$**

$a = 2, b = 5, c = m$ なので、判別式は

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 25 - 8m$

* $25 - 8m > 0$ つまり $m < \frac{25}{8}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $25 - 8m = 0$ つまり $m = \frac{25}{8}$ のとき、重解を持つ。

* $25 - 8m < 0$ つまり $m > \frac{25}{8}$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

**(2) $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$**

$a = 1, b = -2m, c = m + 2$ なので、判別式は

$D = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m - 2)(m + 1)$

* $4(m - 2)(m + 1) > 0$ つまり $m < -1$ または $m > 2$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $4(m - 2)(m + 1) = 0$ つまり $m = -1$ または $m = 2$ のとき、重解を持つ。

* $4(m - 2)(m + 1) < 0$ つまり $-1 < m < 2$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

### 問題13

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

**(1) $x^2 + 3x + 2 = 0$**

$a = 1, b = 3, c = 2$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$

$\alpha \beta = \frac{2}{1} = 2$

**(2) $2x^2 - 5x + 6 = 0$**

$a = 2, b = -5, c = 6$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$

$\alpha \beta = \frac{6}{2} = 3$

**(3) $4x^2 + 3x - 9 = 0$**

$a = 4, b = 3, c = -9$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{4}$

$\alpha \beta = \frac{-9}{4} = -\frac{9}{4}$

### 問題14

二次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = 3$

**(1) $\alpha^2 + \beta^2$**

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

**(2) $(\alpha - \beta)^2$**

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 2^2 - 4(3) = 4 - 12 = -8$

**(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$**

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = 3(2) = 6$

**(4) $\alpha^3 + \beta^3$**

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = 2(2^2 - 3(3)) = 2(4 - 9) = 2(-5) = -10$

**(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$**

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

**(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$**

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

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3. 最終的な答え

**問題12**

(1)

* $m < \frac{25}{8}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $m = \frac{25}{8}$ のとき、重解を持つ。

* $m > \frac{25}{8}$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

(2)

* $m < -1$ または $m > 2$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $m = -1$ または $m = 2$ のとき、重解を持つ。

* $-1 < m < 2$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

**問題13**

(1) 解の和：-3, 解の積：2

(2) 解の和：$\frac{5}{2}$, 解の積：3

(3) 解の和：$-\frac{3}{4}$, 解の積：$-\frac{9}{4}$

**問題14**

(1) -2

(2) -8

(3) 6

(4) -10

(5) 6

(6) $-\frac{2}{3}$