関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 4$ ($0 \le x \le 4$) の最小値を求め、次の空欄を埋める問題です。具体的には、 i) $a < ？$ のとき、$x = ？$ で最小値 $？$ ii) $？ \le a$ のとき、$x = ？$ で最小値 $？$

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 4$ ($0 \le x \le 4$) の最小値を求め、次の空欄を埋める問題です。具体的には、

i) $a < ？$ のとき、$x = ？$ で最小値 $？$

ii) $？ \le a$ のとき、$x = ？$ で最小値 $？$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2ax - a^2 + 4 = -(x^2 - 2ax + a^2) + 4 = -(x-a)^2 + 4$

これは、頂点が $(a, 4)$ で上に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 4$ です。最小値を求めるためには、頂点の位置によって場合分けが必要です。

i) $a < 2$ のとき：

この時、$x=4$ の時最小値をとります。

$x=4$ を代入すると、

$y = -(4-a)^2 + 4 = -(16 - 8a + a^2) + 4 = -a^2 + 8a - 12$

さらに、$a < 2$ の場合分けを細かく考える必要があります。

$a < 0$のとき、$0 \le x \le 4$において $x=4$ で最小値 $y = -a^2+8a-12$

$a<2$ なので、$a \le 4$ を満たし、$x=4$で最小値を考えるだけで十分です。

ii) $2 \le a$のとき：

$a \le 4$のとき、$x=0$の時最小値をとります。

$y=-(0-a)^2+4=-a^2+4$

$4 \le a$のとき、$x=0$の時最小値をとります。

$y=-(0-a)^2+4=-a^2+4$

なので、$a \ge 2$の時、$x=0$のとき最小値をとります。

場合分けをまとめる

i) $a < 2$ のとき

$x=4$ で最小値 $-a^2+8a-12$

ii) $2 \le a$ のとき

$x=0$ で最小値 $-a^2+4$

3. 最終的な答え

i) $a < 2$ のとき、$x = 4$ で最小値 $-a^2 + 8a - 12$

ii) $2 \le a$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-a^2 + 4$