関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 9$ の $-4 \le x \le 2$ における最小値を求め、次の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 9$ の $-4 \le x \le 2$ における最小値を求め、次の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 9 = -2(x^2 - 2ax) - 2a^2 + 9 = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 2a^2 + 9 = -2(x-a)^2 + 2a^2 - 2a^2 + 9 = -2(x-a)^2 + 9$

この関数は上に凸な放物線で、軸は $x = a$ です。定義域 $-4 \le x \le 2$ における最小値を求めます。

i) $a < -4$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 2$ において関数は単調増加であるため、$x = -4$ で最小値をとります。

$x = -4$ を代入すると、

$y = -2(-4)^2 + 4a(-4) - 2a^2 + 9 = -32 - 16a - 2a^2 + 9 = -2a^2 - 16a - 23$

ii) $a > 2$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 2$ において関数は単調減少であるため、$x = 2$ で最小値をとります。

$x = 2$ を代入すると、

$y = -2(2)^2 + 4a(2) - 2a^2 + 9 = -8 + 8a - 2a^2 + 9 = -2a^2 + 8a + 1$

iii) $-4 \le a \le 2$ のとき、軸 $x = a$ が定義域に含まれるため、$x = -4$ または $x = 2$ で最小値をとります。

軸から遠い方で最小値をとります。

$a$の値によって場合分けします。

軸が区間の中央$x=-1$より小さい($-4 \le a \le -1$)とき$x=2$で最小、軸が区間の中央$x=-1$より大きい($-1 \le a \le 2$)とき$x=-4$で最小です。

問題文の空欄の構成から、以下の２つの場合に分けて考えます。

i) $a < -4$のとき、x=-4で最小値$-2a^2-16a-23$

ii) $a > 2$のとき、x=2で最小値$-2a^2+8a+1$

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = -4$ で最小値 $-2a^2 - 16a - 23$

ii) $2 \le a$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-2a^2 + 8a + 1$