次の関数をマクローリン展開しなさい。 3) $\tan^{-1}x^3$。ただし、$|x| < 1$とする。

1. 問題の内容

次の関数をマクローリン展開しなさい。

3) $\tan^{-1}x^3$。ただし、$|x| < 1$とする。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1}X = \int_{0}^{X} \frac{dt}{1+t^2}$ を利用する。

$X = x^3$とすると、

$\tan^{-1}x^3 = \int_{0}^{x^3} \frac{dt}{1+t^2}$

$\frac{1}{1+t^2}$を等比級数で展開する。 $|t|<1$であるとき、

$\frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1-(-t^2)} = \sum_{n=0}^{\infty}(-t^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2n} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots$

これを積分する。

$\int_{0}^{x^3} \frac{dt}{1+t^2} = \int_{0}^{x^3} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int_{0}^{x^3} t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[ \frac{t^{2n+1}}{2n+1} \right]_{0}^{x^3} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{(x^3)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{6n+3}}{2n+1} = x^3 - \frac{x^9}{3} + \frac{x^{15}}{5} - \frac{x^{21}}{7} + \cdots$

3. 最終的な答え

$\tan^{-1}x^3 = x^3 - \frac{x^9}{3} + \frac{x^{15}}{5} - \frac{x^{21}}{7} + \cdots$