与えられた関数をマクローリン展開する問題です。 4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ 5) $x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開する問題です。

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$

5) $x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$

2. 解き方の手順

4) の関数から解きます。

$f(x) = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \cosh(2x)$

$e^x$ のマクローリン展開は、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \frac{(-2x)^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!}$

したがって、

$\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n + (-2x)^n}{n!}$

$n$ が奇数の場合、$(2x)^n + (-2x)^n = 0$

$n$ が偶数の場合、$(2x)^n + (-2x)^n = 2(2x)^n = 2(2^n x^n)$

したがって、$n = 2k$ とおくと、

$\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2(2x)^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k} x^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4^k x^{2k}}{(2k)!} = 1 + \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} + \cdots = 1 + 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \cdots$

次に5) の関数を解きます。

$f(x) = x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$

三角関数の恒等式 $cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$ を用いると、

$- \cos(6x) = 3\cos(2x) - 4\cos^3(2x) = \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$

したがって、

$f(x) = -x^4 \cos(6x)$

$\cos x$ のマクローリン展開は、

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

$\cos(6x) = 1 - \frac{(6x)^2}{2!} + \frac{(6x)^4}{4!} - \frac{(6x)^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6x)^{2n}}{(2n)!}$

$f(x) = -x^4 \cos(6x) = -x^4 \left( 1 - \frac{(6x)^2}{2!} + \frac{(6x)^4}{4!} - \frac{(6x)^6}{6!} + \cdots \right) = -x^4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6x)^{2n}}{(2n)!}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!} = -x^4 + \frac{36}{2} x^6 - \frac{6^4}{24} x^8 + \cdots = -x^4 + 18x^6 - 54x^8 + \cdots$

3. 最終的な答え

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4^k x^{2k}}{(2k)!} = 1 + 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \cdots$

5) $x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x)) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!} = -x^4 + 18x^6 - 54x^8 + \cdots$