問題3： 淹れたてのコーヒーの温度が時間経過とともに変化する様子を記述する微分方程式と初期条件を求める問題です。コーヒーは最初90℃で、室温20℃の部屋に置かれます。コーヒーの温度$y(t)$の下降速度は、コーヒーの温度と室温の差に比例するという条件が与えられています。比例定数は$k$です。 問題4： 以下の2つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。 (1) $y'' - 9y = 0$ (2) $y'' - 2y' + 5y = 0$

1. 問題の内容

問題3：

淹れたてのコーヒーの温度が時間経過とともに変化する様子を記述する微分方程式と初期条件を求める問題です。コーヒーは最初90℃で、室温20℃の部屋に置かれます。コーヒーの温度$y(t)$の下降速度は、コーヒーの温度と室温の差に比例するという条件が与えられています。比例定数は$k$です。

問題4：

以下の2つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。

(1) $y'' - 9y = 0$

(2) $y'' - 2y' + 5y = 0$

2. 解き方の手順

問題3：

コーヒーの温度の下降速度は、コーヒーの温度$y(t)$と室温20℃の差に比例するので、以下の微分方程式で表されます。

$\frac{dy}{dt} = -k(y(t) - 20)$

ここで、$k$は比例定数です。マイナス符号は、コーヒーの温度が時間とともに減少することを示しています。

初期条件は、$t=0$のとき、$y(0) = 90$です。

問題4：

(1) $y'' - 9y = 0$

特性方程式は $r^2 - 9 = 0$ です。

これを解くと、$r = \pm 3$ となります。

よって、一般解は $y(t) = c_1e^{3t} + c_2e^{-3t}$ です。

(2) $y'' - 2y' + 5y = 0$

特性方程式は $r^2 - 2r + 5 = 0$ です。

これを解くと、$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i$ となります。

よって、一般解は $y(t) = e^{t}(c_1\cos(2t) + c_2\sin(2t))$ です。

3. 最終的な答え

問題3：

微分方程式：$\frac{dy}{dt} = -k(y(t) - 20)$

初期条件：$y(0) = 90$

問題4：

(1) $y(t) = c_1e^{3t} + c_2e^{-3t}$

(2) $y(t) = e^{t}(c_1\cos(2t) + c_2\sin(2t))$