x軸上を運動する質点の時刻tにおける速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ が与えられている。 (i) $0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲でv(t)のグラフの概形を描き、その考え方を説明する。 (ii) 時刻tにおける加速度a(t)を求める。 (iii) 時刻tにおける位置x(t)を求める。ただし、t=0のときx=0とする。 (iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うかを答える。

1. 問題の内容

x軸上を運動する質点の時刻tにおける速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ が与えられている。

(i) $0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲でv(t)のグラフの概形を描き、その考え方を説明する。

(ii) 時刻tにおける加速度a(t)を求める。

(iii) 時刻tにおける位置x(t)を求める。ただし、t=0のときx=0とする。

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うかを答える。

2. 解き方の手順

(i) グラフの概形

$v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$

$0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲で考える。

- $e^{-\frac{t}{2}}$ は減衰関数であり、tが増加するにつれて減少する。

- $\sin(2t)$ は周期が $\pi$ の正弦波である。

- $v(t)$ は、減衰する振幅を持つ正弦波となる。

- $v(t)=0$ となるのは、$\sin(2t) = 0$ のとき。つまり、 $2t = n\pi$ (nは整数)のとき、$t = \frac{n\pi}{2}$

$0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲では、t=0, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ で v(t)=0 となる。

- 極大値、極小値は、$v'(t)=0$ の時に現れる。

(ii) 加速度の計算

加速度 $a(t)$ は速度 $v(t)$ の時間微分で与えられる。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t))$

積の微分公式を用いる:

$a(t) = (-\frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}})\sin(2t) + e^{-\frac{t}{2}}(2\cos(2t))$

$a(t) = e^{-\frac{t}{2}}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置の計算

位置 $x(t)$ は速度 $v(t)$ の時間積分で与えられる。

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ とする。

$u = \sin(2t), dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$ とすると、$du = 2\cos(2t) dt, v = -2e^{-\frac{t}{2}}$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \int -2e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t)) dt$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 4 \int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt$

次に、$J = \int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt$ を計算する。

$u = \cos(2t), dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$ とすると、$du = -2\sin(2t) dt, v = -2e^{-\frac{t}{2}}$

$J = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - \int -2e^{-\frac{t}{2}}(-2\sin(2t)) dt$

$J = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4 \int e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) dt$

$J = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4I$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 4(-2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4I)$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 16I$

$17I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t)$

$I = -\frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{17}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + C$

$x(t) = \int v(t) dt = -\frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{17}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + C$

初期条件 $x(0) = 0$ を用いると、

$0 = -\frac{2}{17}e^{0}\sin(0) - \frac{8}{17}e^{0}\cos(0) + C$

$0 = 0 - \frac{8}{17} + C$

$C = \frac{8}{17}$

$x(t) = -\frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{17}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + \frac{8}{17}$

$x(t) = \frac{8}{17} - \frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{17}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t)$

(iv) 時刻が経つにつれて

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{t}{2}} \to 0$ となるので、

$\lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{t \to \infty} (\frac{8}{17} - \frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{17}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t)) = \frac{8}{17}$

時刻が経つにつれて、質点の位置は $\frac{8}{17}$ に近づく。

3. 最終的な答え

(i) v(t)のグラフの概形：減衰する振幅を持つ正弦波。v(t)=0 となるのは、t=0, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ のとき。

(ii) 加速度: $a(t) = e^{-\frac{t}{2}}(2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置: $x(t) = \frac{8}{17} - \frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{17}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t)$

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置は $\frac{8}{17}$ に近づく。