与えられた10個の対数関数を微分しなさい。ただし、対数の底が明示されていない場合は、底が10の常用対数として扱います。

1. 問題の内容

与えられた10個の対数関数を微分しなさい。ただし、対数の底が明示されていない場合は、底が10の常用対数として扱います。

2. 解き方の手順

対数関数の微分公式と合成関数の微分公式（連鎖律）を利用します。

* $\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$

* $\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x \ln 10}$

(a) $y = \log(3x + 1)$

$y' = \frac{3}{(3x + 1)\ln 10}$

(b) $y = \log(x^2 - x + 1)$

$y' = \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1)\ln 10}$

(c) $y = \log(\sin x)$

$y' = \frac{\cos x}{\sin x \ln 10} = \frac{\cot x}{\ln 10}$

(d) $y = \log x^3$

$y' = \frac{3x^2}{x^3 \ln 10} = \frac{3}{x \ln 10}$

(または、先に$y=3\log x$と変形して、$y'=\frac{3}{x\ln10}$としてもよい。)

(e) $y = \log_7 x$

$y' = \frac{1}{x \ln 7}$

(f) $y = \log_5(x^2 + 2x)$

$y' = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x)\ln 5}$

(g) $y = \log_2(3x - 1)$

$y' = \frac{3}{(3x - 1)\ln 2}$

(h) $y = \log |x^2 - 4|$

$y' = \frac{2x}{ (x^2 - 4) \ln 10}$

(i) $y = \log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2}\log x$

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{1}{2x \ln 10}$

(j) $y = \log_3 \sqrt[4]{x} = \log_3 x^{1/4} = \frac{1}{4}\log_3 x$

$y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{1}{4x \ln 3}$

3. 最終的な答え

(a) $y' = \frac{3}{(3x + 1)\ln 10}$

(b) $y' = \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1)\ln 10}$

(c) $y' = \frac{\cot x}{\ln 10}$

(d) $y' = \frac{3}{x \ln 10}$

(e) $y' = \frac{1}{x \ln 7}$

(f) $y' = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x)\ln 5}$

(g) $y' = \frac{3}{(3x - 1)\ln 2}$

(h) $y' = \frac{2x}{(x^2 - 4) \ln 10}$

(i) $y' = \frac{1}{2x \ln 10}$

(j) $y' = \frac{1}{4x \ln 3}$