与えられた初期値問題 $y' - 3y = e^x$, $y(0) = 0$ を解きます。これは1階線形微分方程式です。

1. 問題の内容

与えられた初期値問題 $y' - 3y = e^x$, $y(0) = 0$ を解きます。これは1階線形微分方程式です。

2. 解き方の手順

まず、この微分方程式を解くために、積分因子を求めます。積分因子は $e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ です。

次に、微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = e^{-3x}e^x$

$e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = e^{-2x}$

左辺は積の微分で表せるので、

$\frac{d}{dx}(e^{-3x}y) = e^{-2x}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^{-3x}y) dx = \int e^{-2x} dx$

$e^{-3x}y = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$

$y = -\frac{1}{2}e^{x} + Ce^{3x}$

次に、初期条件 $y(0) = 0$ を代入して、定数 $C$ を求めます。

$0 = -\frac{1}{2}e^0 + Ce^{3 \cdot 0}$

$0 = -\frac{1}{2} + C$

$C = \frac{1}{2}$

したがって、解は $y = -\frac{1}{2}e^{x} + \frac{1}{2}e^{3x}$ となります。

または、$y = \frac{1}{2}(e^{3x} - e^{x})$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}(e^{3x} - e^{x})$