問1(1): 関数 $y = (x^2 + 2x - 5)^5$ を微分する。 問3(1): 関数 $y = \frac{1}{e^x - e^{-x}}$ を微分する。

いくつか問題がありますね。ここでは問1(1)と問3(1)について解いてみます。

1. 問題の内容

問1(1): 関数 $y = (x^2 + 2x - 5)^5$ を微分する。

問3(1): 関数 $y = \frac{1}{e^x - e^{-x}}$ を微分する。

2. 解き方の手順

問1(1): 合成関数の微分法を使う。外側の関数を $u^5$ とし、内側の関数を $u = x^2 + 2x - 5$ とする。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 2x + 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 5(x^2 + 2x - 5)^4 (2x + 2) = 10(x+1)(x^2 + 2x - 5)^4$

問3(1): 商の微分法、もしくは合成関数の微分法を使う。ここでは合成関数の微分法を使う。まず、$y = (e^x - e^{-x})^{-1}$ と書き換える。

外側の関数を $u^{-1}$ とし、内側の関数を $u = e^x - e^{-x}$ とする。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(e^x - e^{-x})^2} (e^x + e^{-x}) = -\frac{e^x + e^{-x}}{(e^x - e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

問1(1): $\frac{dy}{dx} = 10(x+1)(x^2 + 2x - 5)^4$

問3(1): $\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x + e^{-x}}{(e^x - e^{-x})^2}$