和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求める。

1. 問題の内容

和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(k+2) - (k+3)} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{-1} = \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})$

$= (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2})$

これはtelescoping sumになっているので、

$= -\sqrt{3} + \sqrt{n+3}$

$= \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$