逆三角関数 $y = \sin^{-1}(\frac{x}{2})$ を微分し、$y' = \frac{1}{\sqrt{A - (\frac{x}{2})^B}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{C - x^2}}$ のA, B, Cに当てはまる数字を求める。

1. 問題の内容

逆三角関数 $y = \sin^{-1}(\frac{x}{2})$ を微分し、$y' = \frac{1}{\sqrt{A - (\frac{x}{2})^B}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{C - x^2}}$ のA, B, Cに当てはまる数字を求める。

2. 解き方の手順

逆三角関数 $\sin^{-1}(x)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ であることを利用する。

$y = \sin^{-1}(\frac{x}{2})$ を微分すると

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{2})$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} \cdot \frac{1}{2}$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}}$

$y' = \frac{1}{\sqrt{4(1 - \frac{x^2}{4})}} = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$

$\frac{1}{\sqrt{A - (\frac{x}{2})^B}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{C - x^2}}$ に当てはめると、

A = 1

B = 2

C = 4

3. 最終的な答え

A = 1

B = 2

C = 4