問題は、与えられた関数をマクローリン展開することです。 ここでは、4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ および 5) $x^4 \cos{2x}(3-4\cos^2{2x})$ の2つの関数をマクローリン展開します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数をマクローリン展開することです。

ここでは、4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ および 5) $x^4 \cos{2x}(3-4\cos^2{2x})$ の2つの関数をマクローリン展開します。

2. 解き方の手順

4) $f(x) = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \cosh{2x}$ のマクローリン展開

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}$

$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!}$

$e^{2x} + e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n + (-2x)^n}{n!}$

$f(x) = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n + (-2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n + (-2x)^n}{2n!}$

もし $n$ が奇数ならば $(2x)^n + (-2x)^n = 0$ であり、もし $n$ が偶数、例えば $n = 2k$ ならば $(2x)^n + (-2x)^n = 2(2x)^{2k} = 2(4^k x^{2k})$ となります。

したがって、

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2(4^k x^{2k})}{2(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4^k x^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}$

$f(x) = 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^6}{6!} + \cdots$

5) $g(x) = x^4 \cos{2x}(3 - 4\cos^2{2x})$ のマクローリン展開

三角関数の3倍角の公式 $\cos{3\theta} = 4\cos^3{\theta} - 3\cos{\theta}$ を用いると、

$3\cos{2x} - 4\cos^3{2x} = -\cos{6x}$

$g(x) = x^4 (-\cos{6x}) = -x^4 \cos{6x}$

$\cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\cos{6x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6x)^{2n}}{(2n)!}$

$g(x) = -x^4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6x)^{2n}}{(2n)!} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!}$

$g(x) = -x^4 + \frac{6^2 x^6}{2!} - \frac{6^4 x^8}{4!} + \frac{6^6 x^{10}}{6!} - \cdots$

3. 最終的な答え

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} = 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^6}{6!} + \cdots$

5) $x^4 \cos{2x}(3 - 4\cos^2{2x}) = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!} = -x^4 + \frac{6^2 x^6}{2!} - \frac{6^4 x^8}{4!} + \frac{6^6 x^{10}}{6!} - \cdots$