与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (5y - 2)x + (6y^2 - 7y - 3)$

次に、$6y^2 - 7y - 3$ を因数分解します。

$6y^2 - 7y - 3 = (2y - 3)(3y + 1)$

与式は、

$x^2 + (5y - 2)x + (2y - 3)(3y + 1)$

となります。

ここで、$(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定すると、

$(x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + acy^2 + (ad + bc)y + bd$

係数を比較して

$a + c = 5$

$b + d = -2$

$ac = 6$

$ad + bc = -7$

$bd = -3$

$ac = 6$ を満たす整数 $a, c$ の組は $(2, 3), (3, 2), (-2, -3), (-3, -2), (1, 6), (6, 1), (-1, -6), (-6, -1)$ です。

$a+c = 5$ を満たすのは、$(a, c) = (2, 3), (3, 2)$ です。

(i) $(a, c) = (2, 3)$ の場合、

$2d + 3b = -7$

$bd = -3$

$bd = -3$ を満たす整数 $b, d$ の組は $(1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ です。

$2d + 3b = -7$ を満たすのは、$(b, d) = (-1, -2)$です。この時、$b+d=-3$となり、$b+d = -2$を満たさないため不適。

$2d+3b=-7$を満たす組み合わせは$(b,d)=(1,-5), (-1,-2), (3,-\frac{16}{3}), (-3,\frac{1}{2})$. これらのうち$b+d=-2$を満たす組み合わせはない。

(ii) $(a, c) = (3, 2)$ の場合、

$3d + 2b = -7$

$bd = -3$

$bd = -3$ を満たす整数 $b, d$ の組は $(1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ です。

$3d + 2b = -7$ を満たすのは、$(b, d) = (1, -3)$ です。

この時、$b + d = 1 - 3 = -2$ なので条件を満たします。

したがって、$(a, c) = (3, 2), (b, d) = (1, -3)$ を得ます。

よって、

$x^2 + (5y - 2)x + (2y - 3)(3y + 1) = (x + 3y + 1)(x + 2y - 3)$

3. 最終的な答え

$(x + 3y + 1)(x + 2y - 3)$