実数 $a, b, c$ が与えられており、$a, b, c$ はこの順で等比数列をなし、$c, a, b$ はこの順で等差数列をなします。また、$abc = -27$ であるとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が与えられており、$a, b, c$ はこの順で等比数列をなし、$c, a, b$ はこの順で等差数列をなします。また、$abc = -27$ であるとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a, b, c$ はこの順で等比数列をなすので、ある実数 $r$ を用いて、

$b = ar$, $c = ar^2$ と表せます。

また、$c, a, b$ はこの順で等差数列をなすので、

$a - c = b - a$

$2a = b + c$ が成り立ちます。

このとき、$abc = -27$ という条件も与えられています。

$b = ar$ と $c = ar^2$ を $2a = b + c$ に代入すると、

$2a = ar + ar^2$

$2 = r + r^2$ (ただし、$a \neq 0$)

$r^2 + r - 2 = 0$

$(r + 2)(r - 1) = 0$

よって、$r = 1$ または $r = -2$ となります。

$abc = -27$ に $b = ar$ と $c = ar^2$ を代入すると、

$a(ar)(ar^2) = -27$

$a^3 r^3 = -27$

$(ar)^3 = -27$

$ar = -3$

$a = -\frac{3}{r}$ となります。

(i) $r = 1$ のとき、

$a = -3$ となり、$b = ar = -3(1) = -3$, $c = ar^2 = -3(1)^2 = -3$ です。

このとき、$a = b = c = -3$ となり、$abc = (-3)(-3)(-3) = -27$ なので条件を満たします。

$c, a, b$ は $-3, -3, -3$ となり、これは等差数列です（公差 0）。

(ii) $r = -2$ のとき、

$a = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}$ となり、$b = ar = \frac{3}{2}(-2) = -3$, $c = ar^2 = \frac{3}{2}(-2)^2 = \frac{3}{2}(4) = 6$ です。

このとき、$a = \frac{3}{2}, b = -3, c = 6$ となり、$abc = \frac{3}{2}(-3)(6) = -27$ なので条件を満たします。

$c, a, b$ は $6, \frac{3}{2}, -3$ となり、これは等差数列です（公差 $-\frac{9}{2}$）。

3. 最終的な答え

したがって、$a, b, c$ の値は次の2つの組み合わせです。

(i) $a = -3, b = -3, c = -3$

(ii) $a = \frac{3}{2}, b = -3, c = 6$