関数 $y = -(x-a)^2 + 5$ の $-6 \le x \le 0$ における最大値を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -(x-a)^2 + 5$ の $-6 \le x \le 0$ における最大値を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = -(x-a)^2 + 5$ は上に凸な放物線であり、軸は $x = a$ である。定義域 $-6 \le x \le 0$ における最大値を考える。

(1) $a < -6$ のとき：

軸 $x=a$ が定義域よりも左にあるため、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は大きくなる。したがって、$x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $y = -(0-a)^2 + 5 = -a^2 + 5$ である。

(2) $-6 \le a \le 0$ のとき：

軸 $x=a$ が定義域内にあるため、$x = a$ で最大値をとる。

最大値は $y = -(a-a)^2 + 5 = 5$ である。

(3) $0 < a$ のとき：

軸 $x=a$ が定義域よりも右にあるため、定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ は大きくなる。したがって、$x = -6$ で最大値をとる。

最大値は $y = -(-6-a)^2 + 5 = -(a+6)^2 + 5 = -a^2 - 12a - 36 + 5 = -a^2 - 12a - 31$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a < -6$ のとき、$x = 0$ で最大値 $-a^2 + 5$

(2) $-6 \le a \le 0$ のとき、$x = a$ で最大値 $5$

(3) $0 < a$ のとき、$x = -6$ で最大値 $-a^2 - 12a - 31$