与えられた多項式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての2次式と見て整理します。

$2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2 = 2x^2 + 5yx + (2y^2 - 3y - 2)$

次に、定数項の $2y^2 - 3y - 2$ を因数分解します。

$2y^2 - 3y - 2 = (2y + 1)(y - 2)$

これを使って、全体の式を因数分解できるか考えます。

$2x^2 + 5yx + (2y + 1)(y - 2)$ を $(2x + A)(x + B)$ の形に因数分解できると仮定します。

$2x^2 + (A+2B)x + AB$ となるので、

$A+2B = 5y$

$AB = (2y+1)(y-2)$

を満たす $A$ と $B$ を探します。

ここで、$A = 2y+1$ と $B = y-2$ を試してみると、$A + 2B = (2y+1) + 2(y-2) = 2y+1 + 2y - 4 = 4y - 3 \ne 5y$ なので、この組み合わせは違います。

$A = y-2$ と $B = 2y+1$ を試してみると、$A + 2B = (y-2) + 2(2y+1) = y-2 + 4y + 2 = 5y$となり、$AB = (y-2)(2y+1)$なので、この組み合わせが正しいことが分かります。

したがって、与式は以下のように因数分解できます。

$2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2 = (2x + y - 2)(x + 2y + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x + 2y + 1)$