与えられた4x4行列の行列式の値を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & 3 \\ 4 & -1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式の値を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & 3 \\ 4 & -1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式の計算は、行または列に関する余因子展開を用いることで行うことができます。ここでは、まず1行目を使って行列を簡単化することを試みます。

まず、1行目の1の要素を利用して、他の行の最初の要素を0にします。

2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 4 & 9 \\ 4 & -1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$

3行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 4 & 9 \\ 0 & -5 & -2 & 10 \\ -1 & 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$

4行目に1行目を加えます。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 4 & 9 \\ 0 & -5 & -2 & 10 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \end{vmatrix}$

これで、1列目に関して余因子展開を行うと、以下のようになります。

$1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 & 9 \\ -5 & -2 & 10 \\ 3 & 3 & -3 \end{vmatrix}$

次に、3行目の3をくくりだします。

$3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 & 9 \\ -5 & -2 & 10 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

さらに、3行目の1を利用して、他の行の最初の要素を0にします。

1行目に3行目を加えます。

$3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 & 8 \\ -5 & -2 & 10 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

2行目に3行目の5倍を加えます。

$3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 0 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

これで、1列目に関して余因子展開を行うと、以下のようになります。

$3 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot (5 \cdot 5 - 8 \cdot 3) = 3 \cdot (25 - 24) = 3 \cdot 1 = 3$

3. 最終的な答え

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