与えられた式 $2x^2 - 3xy + y^2 + 7x - 5y + 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy + y^2 + 7x - 5y + 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理する。

$2x^2 + (-3y + 7)x + (y^2 - 5y + 6)$

次に、定数項 $y^2 - 5y + 6$ を因数分解する。

$y^2 - 5y + 6 = (y-2)(y-3)$

与式が因数分解できると仮定すると、 $(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になる。

この式を展開すると、

$2x^2 + (2c+a)xy + ac y^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

となる。

係数を比較すると、

$ac = 1$

$2c+a = -3$

$bd = 6$

$2d+b = 7$

$ad+bc = -5$

$y^2 - 5y + 6$ の因数分解の結果から、$a= -1, c=-1$　または　$a=-2, c= -1/2$と仮定できる。$2c+a = -3$より、$a=-1, c=-1$となる。

このとき、式は $(2x - y + b)(x - y + d)$となる。

$bd=6$なので、$b$と$d$の組み合わせとして、(1,6), (2,3), (3,2), (6,1), (-1,-6), (-2,-3), (-3,-2), (-6,-1)が考えられる。

$2d+b=7$を満たすものを探すと、(1,6)の組み合わせが該当する。

$ad+bc = (-1)(6) + (1)(-1) = -7 \neq -5$

(2,3)の場合、$2d+b=7$を満たさない。

$b=3, d=2$を試すと、$2d+b = 2(2)+3=7$となり、$ad+bc = (-1)(2) + (3)(-1) = -5$となるので、これが正しい。

したがって、因数分解の結果は $(2x - y + 3)(x - y + 2)$ となる。

3. 最終的な答え

$(2x - y + 3)(x - y + 2)$