画像には複数の計算問題と、分母の有理化の問題が含まれています。具体的には、 (3) $(3\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$ の計算 (4) $(2\sqrt{6} - \sqrt{3})^2$ の計算 (5) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ の計算 (6) $(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})$ の計算 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ の分母の有理化 (2) $\frac{3}{\sqrt{2}}$ の分母の有理化 (3) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ の分母の有理化 (4) $\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$ の分母の有理化

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には複数の計算問題と、分母の有理化の問題が含まれています。具体的には、

(3) $(3\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$ の計算

(4) $(2\sqrt{6} - \sqrt{3})^2$ の計算

(5) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ の計算

(6) $(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})$ の計算

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ の分母の有理化

(2) $\frac{3}{\sqrt{2}}$ の分母の有理化

(3) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ の分母の有理化

(4) $\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$ の分母の有理化

2. 解き方の手順

(3) $(3\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$

二乗の展開公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使用します。

$(3\sqrt{2})^2 + 2(3\sqrt{2})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2$

$= 9 \cdot 2 + 6\sqrt{12} + 6$

$= 18 + 6 \cdot 2\sqrt{3} + 6$

$= 24 + 12\sqrt{3}$

(4) $(2\sqrt{6} - \sqrt{3})^2$

二乗の展開公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使用します。

$(2\sqrt{6})^2 - 2(2\sqrt{6})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2$

$= 4 \cdot 6 - 4\sqrt{18} + 3$

$= 24 - 4 \cdot 3\sqrt{2} + 3$

$= 27 - 12\sqrt{2}$

(5) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を使用します。

$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= 5 - 2$

$= 3$

(6) $(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})$

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使用します。

$(2\sqrt{7})^2 - (3\sqrt{3})^2$

$= 4 \cdot 7 - 9 \cdot 3$

$= 28 - 27$

$= 1$

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$

分母分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{3}{\sqrt{2}}$

分母分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

分母分子に$\sqrt{7}$をかけます。

$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{14}}{7}$

(4) $\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$

分母分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{10}}{6}$

3. 最終的な答え

(3) $24 + 12\sqrt{3}$

(4) $27 - 12\sqrt{2}$

(5) $3$

(6) $1$

(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{5\sqrt{14}}{7}$

(4) $\frac{\sqrt{10}}{6}$