与えられた6つの2次不等式をそれぞれ解く問題です。 (1) $x^2 - 4x - 12 < 0$ (2) $2x^2 - 6x > 0$ (3) $x^2 + 4x - 21 \leq 0$ (4) $3x^2 + x - 4 \geq 0$ (5) $x^2 + 4x - 6 < 0$ (6) $2x^2 - 7x + 4 \geq 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの2次不等式をそれぞれ解く問題です。

(1) $x^2 - 4x - 12 < 0$

(2) $2x^2 - 6x > 0$

(3) $x^2 + 4x - 21 \leq 0$

(4) $3x^2 + x - 4 \geq 0$

(5) $x^2 + 4x - 6 < 0$

(6) $2x^2 - 7x + 4 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x - 12 < 0$

* 左辺を因数分解します。

$(x - 6)(x + 2) < 0$

* 不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$-2 < x < 6$

(2) $2x^2 - 6x > 0$

* 左辺を因数分解します。

$2x(x - 3) > 0$

* 不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$x < 0$ または $x > 3$

(3) $x^2 + 4x - 21 \leq 0$

* 左辺を因数分解します。

$(x + 7)(x - 3) \leq 0$

* 不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$-7 \leq x \leq 3$

(4) $3x^2 + x - 4 \geq 0$

* 左辺を因数分解します。

$(3x + 4)(x - 1) \geq 0$

* 不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$x \leq -\frac{4}{3}$ または $x \geq 1$

(5) $x^2 + 4x - 6 < 0$

* 解の公式を用いて $x^2 + 4x - 6 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$

* 不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$-2 - \sqrt{10} < x < -2 + \sqrt{10}$

(6) $2x^2 - 7x + 4 \geq 0$

* 解の公式を用いて $2x^2 - 7x + 4 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$

* 不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$x \leq \frac{7 - \sqrt{17}}{4}$ または $x \geq \frac{7 + \sqrt{17}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-2 < x < 6$

(2) $x < 0$ または $x > 3$

(3) $-7 \leq x \leq 3$

(4) $x \leq -\frac{4}{3}$ または $x \geq 1$

(5) $-2 - \sqrt{10} < x < -2 + \sqrt{10}$

(6) $x \leq \frac{7 - \sqrt{17}}{4}$ または $x \geq \frac{7 + \sqrt{17}}{4}$