数列 $a_n = 5n - 2$ と $b_n = 3^n$ が与えられている。数列$\{c_n\}$は、$a_n$と$b_n$の両方に現れる数を小さい順に並べたものである。 (i) $c_1, c_2$ を求めよ。 (ii) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n = 5n - 2$ と $b_n = 3^n$ が与えられている。数列$\{c_n\}$は、$a_n$と$b_n$の両方に現れる数を小さい順に並べたものである。

(i) $c_1, c_2$ を求めよ。

(ii) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(i)

$a_n$ と $b_n$ の値を小さい順に計算し、共通の値を見つける。

$a_1 = 5(1) - 2 = 3$

$a_2 = 5(2) - 2 = 8$

$a_3 = 5(3) - 2 = 13$

$a_4 = 5(4) - 2 = 18$

$a_5 = 5(5) - 2 = 23$

$a_6 = 5(6) - 2 = 28$

$a_7 = 5(7) - 2 = 33$

$b_1 = 3^1 = 3$

$b_2 = 3^2 = 9$

$b_3 = 3^3 = 27$

$b_4 = 3^4 = 81$

したがって、$c_1 = 3$ であり、$a_1 = b_1 = 3$ である。

次に、$c_2$ を求める。$a_n$と$b_n$の値の中で、次に共通の値は27である。

$b_3 = 27$

$a_n = 27$ となる $n$ を求める。

$5n - 2 = 27$

$5n = 29$

$n = 29/5$

$a_n = b_n$ となる自然数 $n$ は存在しない.

$b_n$の値を探してみる.

$b_1 = 3$

$b_2 = 9$

$b_3 = 27$

$b_4 = 81$

$b_5 = 243$

$5n - 2 = b_n$ となるnを探す.

$a_n = 5n - 2 = 3$ -> n = 1

$a_n = 5n - 2 = 9$ -> n = 11/5

$a_n = 5n - 2 = 27$ -> n = 29/5

$a_n = 5n - 2 = 81$ -> n = 83/5

$a_n = 5n - 2 = 243$ -> n = 245/5 = 49

$a_{49} = 5(49) - 2 = 245 - 2 = 243$

$a_{49} = b_5 = 243$

よって、$c_2 = 243$ である。

(ii)

数列$\{a_n\}$は、5で割ったときの余りが3となる正の整数を小さいものから順に並べたものである。

$b_n$を5で割ったときの余りを $r_n$ とすると、数列$\{b_n\}$の項 $b_l$ が数列$\{c_n\}$の項として現れるための必要十分条件は、$r_l = 3$ かつ $b_l > 0$ である。

$r_1 = 3 \% 5 = 3$, $r_2 = 9 \% 5 = 4$, $r_3 = 27 \% 5 = 2$, $r_4 = 81 \% 5 = 1$, $r_5 = 243 \% 5 = 3$

$r_1 = 3$, $r_2 = 4$, $r_3 = 2$, $r_4 = 1$, $r_5 = 3$

$r_n$ は、 $3^n \% 5$ を計算することで求められる。$3^n \% 5$ の値は周期的に変化する。

$r_1 = 3$

$r_2 = 4$

$r_3 = 2$

$r_4 = 1$

$r_5 = 3$

$r_6 = 4$

$r_7 = 2$

$r_8 = 1$

$r_n$ の周期は 4 である。

$r_n = r_{n+4}$

$n \equiv 1 \pmod 4$ のとき $r_n = 3$ となる。

$c_n$ は、$b_l$ であり、$l$ は $l \equiv 1 \pmod 4$ を満たす。

したがって、$c_n = b_{4n-3} = 3^{4n-3}$

3. 最終的な答え

(i) ス: 1, セ: 1, ソ: 3, タ: 243

(ii) イ: 5, チ: 3, ツ: 3, テ: 4, ト: 2, ナ: 1, ニ: 3, ヌ: $3^n \% 5$, ネ: $4n$, ノ: 3, $c_n = 3^{4n-3}$