座標平面上の領域Dに含まれる格子点の個数を求める問題です。領域Dは連立不等式 $1 \le x \le 3^n$ と $0 \le y \le \log_3 x$ で定義されます。直線 $y=k$ (kは整数)が領域Dと共通部分を持つときのkの値の範囲、直線 $y=k$ と曲線 $y=\log_3 x$ の交点の座標、領域Dに含まれる直線 $y=k$ 上の格子点の個数を求め、最終的に領域Dに含まれる格子点の総数を $n$ を用いて表します。

1. 問題の内容

座標平面上の領域Dに含まれる格子点の個数を求める問題です。領域Dは連立不等式 $1 \le x \le 3^n$ と $0 \le y \le \log_3 x$ で定義されます。直線 $y=k$ (kは整数)が領域Dと共通部分を持つときのkの値の範囲、直線 $y=k$ と曲線 $y=\log_3 x$ の交点の座標、領域Dに含まれる直線 $y=k$ 上の格子点の個数を求め、最終的に領域Dに含まれる格子点の総数を $n$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

* **ア：kの値の範囲**

$1 \le x \le 3^n$ より、$x$ の最小値は 1、最大値は $3^n$ です。

$y = \log_3 x$ なので、$x=1$ のとき $y = \log_3 1 = 0$、$x = 3^n$ のとき $y = \log_3 3^n = n$ となります。

よって、$0 \le y \le n$ となり、$k$ は整数なので、$k$ の範囲は $0 \le k \le n$ です。

* **イ：交点の座標**

直線 $y=k$ と曲線 $y=\log_3 x$ の交点の $x$ 座標は、$\log_3 x = k$ を解いて $x = 3^k$ となります。よって、交点の座標は $(3^k, k)$ です。

* **ウ：直線 $y=k$ 上の格子点の個数**

領域Dに含まれる直線 $y=k$ 上の格子点の $x$ 座標の範囲は、$1 \le x \le 3^k$ です。

$x$ は整数なので、格子点の個数は $3^k - 1 + 1 = 3^k$ 個です。

* **エ、オ：領域Dに含まれる格子点の個数**

領域Dに含まれる格子点の個数は、直線 $y=k$ 上の格子点の個数を $k=0$ から $k=n$ まで足し合わせたものです。

すなわち、$\sum_{k=0}^{n} 3^k = 3^0 + 3^1 + \dots + 3^n$ という等比数列の和を計算します。

等比数列の和の公式より、$\sum_{k=0}^{n} 3^k = \frac{3^{n+1}-1}{3-1} = \frac{3^{n+1}-1}{2} = \frac{3 \cdot 3^n - 1}{2} = \frac{3}{2} \cdot 3^n - \frac{1}{2}$ となります。

問題の形式に合わせて、$()3^n +$ の形にすると、

$\frac{3}{2} \cdot 3^n - \frac{1}{2} = (\frac{3}{2})3^n - \frac{1}{2}$ となります。

したがって、エは $\frac{3}{2}$、オは $-\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

ア： $0 \le k \le n$

イ： $(3^k, k)$

ウ： $3^k$

エ： $\frac{3}{2}$

オ： $-\frac{1}{2}$