関数 $y = -(x-a)^2 + 2$ の $-5 \le x \le 1$ における最大値を求める問題です。最大値を与える $x$ の値と、そのときの最大値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = -(x-a)^2 + 2$ の $-5 \le x \le 1$ における最大値を求める問題です。最大値を与える $x$ の値と、そのときの最大値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数は上に凸な放物線で、頂点の $x$ 座標は $a$ です。定義域 $-5 \le x \le 1$ における最大値は、頂点の位置によって変化します。

(1) $a < -5$ のとき

このとき、頂点は定義域の左側にあります。関数は $x$ が増加するにつれて減少するので、$x = -5$ で最大値をとります。

最大値は $y = -(-5-a)^2 + 2 = -(a+5)^2 + 2$ です。

(2) $-5 \le a \le 1$ のとき

このとき、頂点は定義域の中にあります。上に凸な放物線なので、頂点 $x=a$ で最大値をとります。

最大値は $y = -(a-a)^2 + 2 = 2$ です。

(3) $1 < a$ のとき

このとき、頂点は定義域の右側にあります。関数は $x$ が増加するにつれて増加し、$x=1$を超えると減少するため、$x=1$ で最大値をとります。

最大値は $y = -(1-a)^2 + 2 = -(a-1)^2 + 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a < -5$ のとき、 $x = -5$ で最大値 $-(a+5)^2 + 2$

(2) $-5 \le a \le 1$ のとき、 $x = a$ で最大値 $2$

(3) $1 < a$ のとき、 $x = 1$ で最大値 $-(a-1)^2 + 2$