ある等差数列の初項から第5項までの和が-5、第6項から第10項までの和が145である。このとき、第11項から第15項までの和を求める。

1. 問題の内容

ある等差数列の初項から第5項までの和が-5、第6項から第10項までの和が145である。このとき、第11項から第15項までの和を求める。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を$a$、公差を$d$とする。

初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

で表される。

初項から第5項までの和が-5であるから、

$\frac{5}{2}(2a + 4d) = -5$

$5(a + 2d) = -5$

$a + 2d = -1$ ...(1)

第6項から第10項までの和が145である。これは初項から第10項までの和から、初項から第5項までの和を引いたものに等しい。

$\frac{10}{2}(2a + 9d) - \frac{5}{2}(2a + 4d) = 145$

$5(2a + 9d) - 5(a + 2d) = 145$

$2a + 9d - (a + 2d) = 29$

$a + 7d = 29$ ...(2)

(2)-(1)より、

$(a + 7d) - (a + 2d) = 29 - (-1)$

$5d = 30$

$d = 6$

(1)に$d=6$を代入して、

$a + 2(6) = -1$

$a + 12 = -1$

$a = -13$

第11項から第15項までの和を求める。これは初項から第15項までの和から、初項から第10項までの和を引いたものに等しい。

第11項から第15項までの和 = $S_{15} - S_{10}$

$S_{15} = \frac{15}{2}(2a + 14d) = \frac{15}{2}(2(-13) + 14(6)) = \frac{15}{2}(-26 + 84) = \frac{15}{2}(58) = 15 \cdot 29 = 435$

$S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = \frac{10}{2}(2(-13) + 9(6)) = 5(-26 + 54) = 5(28) = 140$

第11項から第15項までの和 = $435 - 140 = 295$

別の解き方:

第11項から第15項までの和は、第6項から第10項までの和に、$5d$を5回足したものである。なぜなら、第11項は第6項に$5d$を足したものであり、第12項は第7項に$5d$を足したものである...というように考えることができるからである。

つまり、第11項から第15項までの和 = 第6項から第10項までの和 + $5(5d) = 145 + 25d = 145 + 25(6) = 145 + 150 = 295$

3. 最終的な答え

295