関数 $f(x) = x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$ をマクローリン展開（テイラー展開の中心が $x=0$ の場合）すること。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$ をマクローリン展開（テイラー展開の中心が $x=0$ の場合）すること。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を簡略化します。三角関数の恒等式 $4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta) = \cos(3\theta)$ を利用します。この式を少し変形して $3\cos(2x) - 4\cos^3(2x) = -\cos(6x)$ を得ます。したがって、

$f(x) = x^4(-\cos(6x)) = -x^4 \cos(6x)$

となります。

次に、$\cos(u)$ のマクローリン展開を求めます。

$\cos(u) = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \frac{u^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n u^{2n}}{(2n)!}$

ここで、$u = 6x$ とすると、

$\cos(6x) = 1 - \frac{(6x)^2}{2!} + \frac{(6x)^4}{4!} - \frac{(6x)^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (6x)^{2n}}{(2n)!}$

したがって、

$f(x) = -x^4 \cos(6x) = -x^4 \left( 1 - \frac{(6x)^2}{2!} + \frac{(6x)^4}{4!} - \frac{(6x)^6}{6!} + \cdots \right) = -x^4 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (6x)^{2n}}{(2n)!}$

$f(x) = -x^4 \left( 1 - \frac{36x^2}{2} + \frac{1296x^4}{24} - \frac{46656x^6}{720} + \cdots \right) = -x^4 \left( 1 - 18x^2 + 54x^4 - \frac{648}{10}x^6 + \cdots \right)$

$f(x) = -x^4 + 18x^6 - 54x^8 + \frac{324}{5} x^{10} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!}$

3. 最終的な答え

$f(x) = -x^4 + 18x^6 - 54x^8 + \frac{324}{5} x^{10} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!}$