次の関数をMaclaurin展開しなさい。ただし、(2)は$|x| < 3$、(3)は$|x| < 1$とする。 (2) $\frac{1}{x+3}$ (3) $Tan^{-1} x$ (5) $x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x)$

1. 問題の内容

次の関数をMaclaurin展開しなさい。ただし、(2)は$|x| < 3$、(3)は$|x| < 1$とする。

(2) $\frac{1}{x+3}$

(3) $Tan^{-1} x$

(5) $x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x)$

2. 解き方の手順

(2) $\frac{1}{x+3}$のマクローリン展開

$\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3(1 + \frac{x}{3})} = \frac{1}{3} \frac{1}{1 - (-\frac{x}{3})}$

$|x| < 3$より、$|-\frac{x}{3}| < 1$だから、等比級数の公式を用いると

$\frac{1}{1 - (-\frac{x}{3})} = \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{3})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{3^n}$

よって、

$\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{3^{n+1}}$

(3) $Tan^{-1} x$のマクローリン展開

$Tan^{-1} x = \int_{0}^{x} \frac{dt}{1 + t^2}$

$\frac{1}{1 + t^2} = \frac{1}{1 - (-t^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-t^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n}$

$|x| < 1$より、$|t| < 1$だから、

$Tan^{-1} x = \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{x} t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n [\frac{t^{2n+1}}{2n+1}]_{0}^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

(5) $x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x)$のマクローリン展開

$3 - 4 \cos^2 2x = -(4 \cos^2 2x - 3) = -\cos 6x$

よって、$x^4 \cos 2x (3 - 4 \cos^2 2x) = -x^4 \cos 2x \cos 6x = -\frac{1}{2} x^4 (\cos 8x + \cos 4x)$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

$\cos 8x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (8x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 8^{2n} x^{2n}}{(2n)!}$

$\cos 4x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (4x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^{2n} x^{2n}}{(2n)!}$

$-\frac{1}{2} x^4 (\cos 8x + \cos 4x) = -\frac{1}{2} x^4 (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 8^{2n} x^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^{2n} x^{2n}}{(2n)!}) = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (8^{2n} + 4^{2n}) x^{2n+4}}{(2n)!}$

3. 最終的な答え

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{3^{n+1}}$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

(5) $-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (8^{2n} + 4^{2n}) x^{2n+4}}{(2n)!}$